Terminale · spé maths

Logarithme népérien : les règles et la méthode

Le logarithme népérien paraît abstrait, mais au BAC, il sert surtout à une chose : « faire descendre » un exposant pour résoudre une équation ou une inéquation.

Ce qu'il faut savoir

Propriété	Pour a, b > 0
Produit	ln(ab) = ln(a) + ln(b)
Quotient	ln(a/b) = ln(a) − ln(b)
Puissance	ln(aⁿ) = n·ln(a)
Lien avec exp	ln(eˣ) = x et e^(ln a) = a
Dérivée	(ln x)′ = 1/x et (ln u)′ = u′/u
Limites	ln x → +∞ en +∞ ; ln x → −∞ en 0⁺ ; ln(x)/x → 0 en +∞

Résoudre qⁿ < s en 3 étapes

La question type : « à partir de quel rang n a-t-on 0,8ⁿ < 0,01 ? »

ÉTAPE 01

Appliquer ln

ln est croissante sur ]0 ; +∞[ : le sens de l'inégalité est conservé. ln(0,8ⁿ) < ln(0,01).

ÉTAPE 02

Descendre l'exposant

n × ln(0,8) < ln(0,01).

ÉTAPE 03

Diviser avec prudence

ln(0,8) < 0 : diviser change le sens. n > ln(0,01) / ln(0,8), puis on conclut avec un entier.

Les pièges qui font perdre des points

Diviser par un ln négatif sans changer le sens de l'inégalité : ln(q) < 0 dès que 0 < q < 1.
ln(a + b) = ln(a) + ln(b) : faux ! Seul le produit se transforme en somme.
Oublier l'ensemble de définition : ln n'existe que pour des nombres strictement positifs.
Ne pas justifier l'application de ln (croissance stricte sur ]0 ; +∞[).